Томас Блум рассказывает, как недавно опровергли гипотезу о сумме-произведении над вещественными числами и гипотезу Эрдёша о единичных расстояниях. Главный трюк — взять простую конструкцию, которая даёт крошечный выигрыш, а потом «раздуть» её до сколь угодно больших множеств с помощью числовых полей высокой степени.
Сначала разминка: в любой абелевой группе можно найти множество, где сумма чуть больше разности. Например, A={0,2,3,4,7,11,12,14}: сумма — 26 элементов, разность — 25. Если взять декартово произведение A^d, то для любого d отношение сохраняется. Так получаются сколь угодно большие множества с экспонентой >1. Та же логика работает и для сложных задач.
Для суммы-произведения нужны множества в ℝ, где одновременно и сумма, и произведение маленькие. Берём числовое поле K степени d. Его кольцо целых 𝒪_K — решётка ранга d; шар B⁺(X) (алгебраические целые с ∞-нормой ≤X) содержит около X^d точек. Группа единиц 𝒪_K^× — решётка ранга d-1; логарифмический шар B^×(Y) содержит около Y^(d-1) точек. Конструкция: A = G·P, где G = B^×(Y), P = B⁺(X). Тогда |AA| ≤ (C/Y)^d |A|², а |A+A| ≤ (e^Y/X)^d |A|². Выбираем константы Y и X так, чтобы оба множителя были меньше 1, и получаем max(|A+A|,|AA|) ≤ |A|^(2-c). Размер A растёт как C^d, так что при d→∞ можно получить сколь угодно большие N. Но для этого нужно, чтобы дискриминант и регулятор поля были ограничены сверху величиной O(1)^d. Такие башни полей существуют благодаря теореме Голода-Шафаревича (Мартине, 1978).
Для единичных расстояний конструкция похожа. Берём поле K c d степеней, содержащее i. Расширение L = K(i) степени 2d. Рассмотрим подгруппу единиц U = {u∈𝒪_L^× : u·conj(u)=1} — это решётка ранга r₂ (число комплексных вложений K). Элементы U имеют вид a+bi с a²+b²=1, то есть лежат на единичной окружности. Множество A_X — алгебраические целые из K размера ≤X. Точки P = A_X × A_X (их около X^(2d)). Сдвиг на u∈U_Y даёт единичное расстояние. Число таких пар — |P|·|U_Y| ≈ X^(2d)·Y^(r₂). Если r₂ ≥ cd, то при подходящем выборе констант X и Y получаем n^(1+c) единичных расстояний. Снова нужны поля с ограниченным дискриминантом — те же башни.
Автор отмечает, что OpenAI и Anthropic (Mythos) независимо нашли эти контрпримеры. Удивительно, что комбинаторные следствия башен числовых полей не заметили раньше — вероятно, потому что все пытались улучшить нетривиальные сбережения, а не раздувать тривиальные. Статья Томаса Блума, Совина, Шильдкраута и Железова — для суммы-произведения; для единичных расстояний — OpenAI и Mythos.