Функциональный анализ нужен для физических задач, вроде волн в непрерывных средах. Он выходит за рамки конечных матриц и работает с бесконечными множествами непрерывных функций. Вводный туториал, вышедший на arXiv в апреле 2019 года, объясняет, можно ли свести такие задачи к конечным матричным аппроксимациям и как это делать практически. Автор отобрал только самые необходимые темы, но математическая аргументация полная и самодостаточная.
Изложение начинается с множеств и последовательностей вещественных чисел. Затем переходит к пространствам векторов или функций, вводятся нормы и метрики — они нужны, чтобы оценивать сходимость. Добавляя внутреннее произведение, получаем Hilbert spaces. Дальше рассматриваются операторы, которые отображают элементы внутри или между такими пространствами. Ключевой момент — compact operators: они решают многие проблемы, возникающие при работе с бесконечными наборами векторов или функций. Затем вводятся Hilbert-Schmidt operators — это специальный класс compact operators, который часто встречается в физике, особенно в волновых задачах. В конце туториал разбирает собственные функции для основных классов операторов и их мощные свойства, а завершается singular-value decomposition операторов.
Туториал написан в стиле, дополняющем стандартные математические учебники. Длинные доказательства вынесены в отдельный раздел, чтобы не нарушать повествовательный поток и сохранить мотивацию при построении математической структуры. Результат должен быть полезен широкой аудитории, особенно в физической науке и инженерии.