Автор предлагает необычную идею: смотреть на логарифмы как на абстрактные геометрические объекты, а не просто на функции. Он вводит понятие «baseless logarithm» — логарифм без основания, обозначаемый просто log N. Это абстрактная величина, вроде точки в пространстве. Привычный логарифм по основанию, например log₂ N, тогда становится отношением двух таких «безосновных» логарифмов: log₂ N = log N / log 2. А log 2 — это просто «единица измерения», вроде бита. Переход между битами и натами (log e) работает как смена единиц: log N = log₂(N) бит = ln(N) нат.
Автор проводит параллель с векторами. Обычный геометрический вектор v можно измерить в разных базисах: v = v_x x. Точно так же baseless logarithm — это «вектор», а его проекция на единицу log 2 даёт численное значение. Смена основания логарифма — то же самое, что смена координат для вектора. Он замечает, что в разных областях математики уже изобрели операции, похожие на такую проекцию логарифма: p-adic valuation ν_p(n) выделяет степень простого числа p в разложении n, а ord_a f(z) в комплексном анализе извлекает порядок нуля или полюса функции. Оба случая работают как «частная производная» для логарифма.
Автор идёт дальше и показывает, что и векторы можно считать логарифмами. Оператор сдвига T^v = e^{v_x ∂_x + v_y ∂_y} — это экспонента от вектора. Тогда сам вектор v — это логарифм оператора сдвига: v = ln T^v. Получается, логарифмы и векторы — две стороны одной медали.
Ещё один пример — размерность векторного пространства dim_K V. Для поля K и пространства K^n выполняется dim_K K^n = n. Это в точности логарифм: log_k k^n = n. Прямая сумма ⊕ соответствует умножению чисел, тензорное произведение ⊗ — своего рода «коммутативному возведению в степень». Автор удивляется, что эту аналогию редко замечают, хотя она очевидна: размерность — это логарифм мощности пространства по основанию мощности поля.
В конце он предлагает мыслить ещё смелее: log_K V может возвращать не число, а сам базис пространства. Тогда dim_K V — это мощность этого базиса. А обратная операция, span(X) = K^X, восстанавливает пространство по его «логарифму». Автор признаёт, что во всём этом чувствуется глубокая связь между логарифмами, векторами, размерностью и производными, но единой теории пока нет.