Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, и это можно вывести без формул из школьного учебника, — автор статьи разбирает два интуитивных подхода.
Первый аргумент — с пружиной и двумя коробками. Есть две коробки массы m, они едут вправо со скоростью v, между ними сжатая пружина с потенциальной энергией U. Систему отпускают, пружина разжимается так, что левая коробка останавливается. По закону сохранения импульса правая коробка улетает вправо со скоростью 2v. Считаем энергию: KE(2m, v) + U = KE(m, 2v). Энергия аддитивна по массе, то есть 2KE(m, v) + U = KE(m, 2v). Уже ясно, что KE не может быть линейной по v, иначе U получилось бы нулевым, а оно положительное. Теперь переходим в систему отсчёта, движущуюся вправо со скоростью v. В ней обе коробки покоятся, пружина всё так же сжата. После разжимания коробки разлетаются в разные стороны со скоростью v. Получаем U = 2KE(m, v). Подставляем в предыдущее уравнение — выходит KE(m, 2v) = 4KE(m, v). Удвоение скорости даёт учётверение энергии, а значит, KE ∝ v².
Второй аргумент — через гравитацию, но без использования mgh и работы. Автор опирается только на то, что в однородном поле свободно падающее тело набирает скорость v = √(2gh). Берём тело на высоте h. Даём ему упасть на четверть высоты, ловим, забираем кинетическую энергию KE(v/2). Повторяем три раза — получаем 4·KE(v/2). Этой энергией пытаемся запустить тело обратно вверх. Оно не может подняться выше h — это бы нарушило сохранение энергии. Значит, 4·KE(v/2) ≤ KE(v). Теперь обратная процедура: роняем тело на всю высоту h, забираем KE(v). Делим энергию на четыре равные части, каждой частью подбрасываем тело вверх. Каждый бросок не может дать скорость выше v/2, иначе тело улетит выше h. Значит, KE(v) ≤ 4·KE(v/2). Из двух неравенств следует строгое равенство: KE(v) = 4·KE(v/2). Это снова даёт KE(2v) = 4KE(v) и, как показано в том же обсуждении на Math StackExchange, приводит к KE ∝ v².