Евклид ещё в 300 году до н. э. доказал, что простых чисел бесконечно много. Но разные бесконечные множества бывают разной «плотности»: чётных чисел гораздо больше, чем степеней двойки. Мерой может служить сумма обратных величин: ряд 1/2 + 1/4 + 1/6 + … расходится, а ряд по степеням двойки сходится к единице. Эйлер задался вопросом: расходится ли сумма обратных всех простых — 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …?
Для ответа Эйлер использовал то, что сейчас называют Riemann zeta function: ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + … Он заметил, что этот бесконечный ряд раскладывается в произведение по простым — Euler product formula. Каждый множитель — геометрическая прогрессия, и формула превращается в ζ(s) = ∏ (1 − p^{-s})⁻¹. Это мост между теорией чисел и анализом.
Взяв логарифм и разложив в ряд Тейлора, Эйлер получил выражение log ζ(s) ≈ ∑ p^{-s} + меньшие члены. При s = 1 ряд ζ(1) — гармонический — расходится, значит, расходится и log ζ(1). Остальные члены (суммы вида ∑ 1/(2p²) и т. д.) Эйлер оценил сверху конечной величиной (меньше 1). Поэтому главный член ∑ 1/p обязан быть бесконечным. Сумма обратных простых расходится, хотя невероятно медленно — как log log n. Чтобы сумма превысила 3, нужно перебрать все простые до 100 миллионов.
Гаусс в 1792 году, изучив таблицы простых, предположил: число простых от 1 до N (обозначается π(N)) примерно равно интегральному логарифму Li(x) = ∫₀^N dt/log t ≈ N/log N. Риман пошёл дальше и вывел точную формулу, выражающую π(x) через нули дзета-функции.
Риман использовал факторизацию ζ(s) по аналогии с разложением синуса в бесконечное произведение по его нулям. После преобразований он получил: π(x) ≈ Li(x) − ∑ Li(x^ρ), где ρ — нетривиальные нули ζ(s). Основной член Li(x) даёт приближение Гаусса, а поправки с нулями уточняют его. Величина каждого Li(x^ρ) ≈ x^ρ / (ρ log x). Поскольку у нулей действительная часть s лежит между 0 и 1, эти поправки меньше главного члена. Но из симметрии (если ρ — нуль, то и 1−ρ — нуль) следует, что наилучшее приближение достигается, когда все s = 0.5. Это и есть знаменитая Riemann hypothesis — она до сих пор не доказана.