Гипотеза Якобиана опровергнута для трёхмерного случая — и, соответственно, для всех более высоких размерностей. Это недавно показали с помощью инструмента Fable AI. Сама гипотеза утверждает: если у полиномиального отображения в комплексных переменных якобиан — ненулевая константа, то у этого отображения есть полиномиальное обратное. Проще говоря, локальная обратимость (есть она благодаря ненулевому якобиану) должна влечь глобальную. Для одной переменной это тривиально, для двух — вопрос пока открыт, а для трёх нашёлся контрпример.
Конкретный многочлен имеет седьмую степень. Якобиан от него — многочлен от трёх переменных, который в теории мог бы иметь степень до двенадцати. Чтобы все неконстантные коэффициенты обнулились, нужна колоссальная взаимная компенсация. В лоб такой пример не найти — слишком много степеней свободы.
Позже пример объяснили геометрически. В статье автор переформулирует задачу: нужно найти аффинное многообразие, изоморфное C³ с полиномиальной заменой координат, и отображение, которое локально инъективно, но не глобально. Всё строится через умножение однородных многочленов низких степеней. Есть пространство линейных многочленов от двух переменных, квадратичных и кубических. Умножение линейного на квадратичный даёт кубический. У этого отображения есть масштабная симметрия и симметрия замены переменных.
Если отфакторизовать масштабирование, остаётся отображение из четырёхмерного пространства в четырёхмерное. Оно не инъективно — один и тот же кубический многочлен получается из трёх разных пар. При этом отображение локально инъективно: корни у линейного и квадратичного многочленов различны, и по малому возмущению продукта можно восстановить, что было исходным. Проблема в том, что четырёхмерная гиперповерхность, на которой результант равен единице, не изоморфна C³.
Решение — перейти к трёхмерному сечению. Автор выбирает аффинную гиперплоскость, которая избегает начала координат. Чудо в том, что при правильном выборе (когда дифференциальный оператор, задающий плоскость, имеет два совпадающих корня) это сечение оказывается изоморфно C³. Автор проделывает координатные выкладки, используя big-O-нотацию вместо алгебраической геометрии, и получает полиномиальную замену, которая параметризует всё многообразие тремя координатами. Обратная карта даёт исходный контрпример с якобианом, равным единице.
В работе использовался AI-чат для обсуждения и проверки вычислений.