В 1939 году Отто-Генрих Келлер задал вопрос, ставший одной из главных нерешённых задач математики, — Jacobian Conjecture. Если полиномиальное отображение плоскости или пространства нигде не сжимает площадь в ноль (его Jacobian везде одинаков и не равен нулю), обязано ли оно глобально раскручиваться обратно, причём обратное отображение тоже полиномиально? Для карт, собранных из сдвигов и линейных преобразований, ответ очевиден: да. Но в общем виде догадка продержалась 87 лет.
Все известные примеры её подтверждали. Степень 2 доказали ещё в 1980-м, а всю проблему свели к степени 3. На плоскости компьютерная проверка до степени 100 не нашла исключений. Однако любое доказательство упиралось в три барьера: над вещественными числами гипотеза неверна (Сергей Пинчук в 1994 году построил многочлены с положительным Jacobian и коллизией), в clock arithmetic она рушится, и остаётся угроза «убегания на бесконечность».
В июле 2026 года гипотеза пала — но только в размерности три и выше. Двумерный случай по-прежнему открыт. Контрпример предложил математик Левент Алпёге, отталкиваясь от вопроса коллеги и применив AI-модель Claude Fable. Итоговое отображение задаётся в координатах (x, y, z) с сокращением u = 1 + xy: P = u³z + y²u(4 + 3xy), Q = y + 3x u²z + 3x y²(4 + …), R = … Его Jacobian тождественно равен 1, то есть локально пространство не сжимается и не переворачивается. Тем не менее две разные точки переходят в одну — коллизия.
Проверить это можно самостоятельно: репозиторий github.com/muchmirul/conjectures содержит код на Python с sympy и тесты, которые символьно вычисляют Jacobian, находят коллизию и подтверждают, что обратного полиномиального отображения не существует. Никаких приближений — чистая алгебра.
Так разрушилась 87-летняя интуиция: полиномиальность и постоянный Jacobian не гарантируют глобальной однолистности в размерностях выше двух. Плоский случай устоял и ждёт своего решения.