Для любого n ≥ 1 определитель матрицы M_n, у которой на месте (i,j) стоит 1, если i+j — число Фибоначчи, и 0 в противном случае, равен -1, 0 или 1. Это главная теорема статьи. Доказательство смотрит на двудольный граф поддержки Q_n: строки и столбцы — вершины, ребро — когда сумма индексов попадает в последовательность Фибоначчи. Сначала показывают, что каждый цикл длины хотя бы шесть имеет хорду, а каждый четырёхугольник устроен так, что его угловые суммы равны q_{t-2}, q_t, q_t, q_{t+1}. Из этого индукцией получается внешнепланарное вложение Q_n. Дальше работает критерий Camion: матрица из 0 и ±1 вполне унимодулярна тогда и только тогда, когда у каждой квадратной подматрицы с чётными суммами строк и столбцов сумма всех элементов делится на 4. Внешнепланарная раскраска граней даёт это условие для M_n. Значит, все квадратные миноры M_n лежат в {-1,0,1}, и определитель тоже. Эквивалентно: количество разрешённых чётных перестановок отличается от количества нечётных не больше чем на 1.
Проверки согласны: для всех 1 ≤ n ≤ 120 определитель посчитан точным целочисленным методом Bareiss и попадает в {-1,0,1}. Ненулевые индексы до 120 перечислены: 1,2,3,5,9,14,15,23,24,25,37,39,41,60,64,66,67,97,98,103,104,107,108,109. При этом простое сокращение по вынужденным строкам и столбцам не объясняет результат: в 110 из 120 случаев после такого соскребания остаётся непустое ядро, и нужная компенсация происходит уже внутри него. Хороший пример точной компенсации — n=33: там 10800 разрешённых перестановок, ровно 5400 чётных и 5400 нечётных.
Недоказанная часть относится к ненулевой поддержке. Промежутки между ненулевыми индексами группируются в три семейства: первичные, вторичные и третичные, для них выписаны формулы через числа Фибоначчи и размеры 8,12,19,30,48,77…, но это пока наблюдения, а не доказанная классификация. Открытая задача — дать необходимое и достаточное условие для n, при которых det M_n ≠ 0, и доказать его, включая самоподобные блоки, зеркальные правила и граничные исключения. В статье зафиксированы и возможные пути: знакопеременная инволюция на перестановках, сведение к ядру через Zeckendorf-разложение, поиск унимодулярной исключающей процедуры, Smith normal form. Отдельно есть Lean-формализации: определение матрицы, классификация четырёхугольников, критерий Camion и минимальный препятствующий минор; часть записей помечена как черновая, а полное доказательство через внешнепланарность и Camion ждёт независимой проверки.