Степенные функции встречаются в науке и технике на каждом шагу. У них есть удивительное свойство: преобразование Фурье степенной функции — тоже степенная функция. Возможно, именно оно объясняет загадку 1/f noise, которую не могут решить уже больше 80 лет.
Если взять одностороннюю степенную функцию u(t)t^α, где u(t) — функция единичного скачка, то в частотной области получится амплитуда ω^-(α+1) с фазовым множителем и масштабирующим коэффициентом Γ(α+1) — гамма-функцией, непрерывным аналогом факториала. Степенной закон выполняется только для амплитуды, фаза ведёт себя сложнее. На лог-логическом графике амплитуда даёт прямую с наклоном -(α+1). В таблице из статьи разобраны случаи α от -2 до 2.
При α=0 это преобразование единичного скачка: амплитуда 1/ω, фаза -π/2 — знакомый образ идеального интегратора. Если соединить два интегратора последовательно, получится α=1: импульсная характеристика растёт линейно, а амплитудный спектр становится 1/ω^2 с фазой -π. Дальше — больше: α=2 соответствует каскаду из трёх интеграторов.
Когда α приближается к -1, временная область всё больше похожа на t^-1, а частотная — на плоскую амплитуду с нулевой фазой. Плоская амплитуда с нулевой фазой — это дельта-функция во временной области, так что в пределе u(t)t^-α = δ(t). Но ровно в α=-1 гамма-функция не определена, поэтому математика запрещает задавать этот вопрос.
Раз степенные функции в двух доменах связаны обратной зависимостью, должна существовать точка, где оба домена совпадают. Это α = -0.5: t^-0.5 и ω^-0.5.
Теперь самое интересное. В любом усилителе есть шум. Выше 100 Гц — плоский белый шум, он понятен. Ниже — наклонный участок, 1/f noise. Его наблюдали в самых неожиданных местах: в электронике, в плотности трафика, в громкости классической музыки, в кодировании ДНК. Обычно шум описывают через спектр мощности — квадрат амплитуды. У 1/f noise спектр мощности близок к 1/f, а амплитудный спектр — к 1/f^1/2. То есть наклон -0.5 на лог-логическом графике. Выходит, 1/f noise — своё собственное преобразование Фурье: t^-1/2 ↔ ω^-1/2.
Такой шум можно получить из одиночного импульса u(t)t^-1/2, из случайной последовательности таких импульсов или пропустив белый шум через фильтр с импульсной характеристикой u(t)t^-1/2. Но физической интерпретации, объясняющей, почему 1/f noise встречается повсюду, у этих сценариев нет. Остаётся и проблема фазы: для пары u(t)t^-1/2 фаза равна -π/4, но настоящая фаза 1/f noise неизвестна, возможно, её просто нет. Если фаза другая, форма сигнала во времени тоже будет другой.
Тем не менее идея очень соблазнительная. Гауссова кривая — главная форма для случайных событий, и центральная предельная теорема объясняет, почему она так распространена. А преобразование Фурье гауссианы — тоже гауссиана. Это вряд ли совпадение, и, возможно, именно здесь спрятан ключ к разгадке 1/f noise.