Сотрудник Anthropic попросил невыпущенную исследовательскую версию Claude всерьёз взяться за гипотезу Римана — знаменитую нерешённую задачу из 1859 года, за которую обещан миллион долларов. Полностью доказать гипотезу Claude не смог. Но в процессе неожиданно улучшил результат по смежному вопросу: нижняя граница доли нулей дзета-функции Римана, лежащих на критической прямой, выросла с 41,6% до 67,2%.
Дзета-функция Римана описывает распределение простых чисел: нули функции добавляют детали к последовательности простых. Гипотеза Римана утверждает, что все нули, определяющие простые, находятся на одной вертикальной прямой. Доказать её никто не смог, но математики постепенно увеличивали известную нижнюю границу доли нулей на этой прямой до 41,6%.
Результат опирается на работы Монтгомери 1973 года, более поздние работы Baluyot, Goldston, Suriajaya и Turnage-Butterbaugh, которые позволили применять методы Монтгомери без предположения о верности гипотезы, и на статью Bombieri 2000 года. Claude соединил эти идеи: построил пространство функций с квадратичной формой, индуцированной Вейлем, учёл положительно и отрицательно определённые подпространства, связанные с нулями на прямой и вне её, и выписал неравенство для ранга квадратичной формы. Этого хватило, чтобы превзойти прежнюю границу.
Работа шла в Claude Code за две сессии, суммарно 31 миллион выходных токенов. Сотрудник Anthropic Джарред Самнер, не математик, предложил Claude «всерьёз попробовать» гипотезу и дальше не вмешивался в математические решения. Сначала Claude сгенерировал 650 идей, ни одна не сработала. После просьбы попробовать ещё раз модель потратила полтора дня на координацию около 60 суб-агентов: они выполнили 2400 shell-команд, написали сотни Python-скриптов, прогнали тысячи численных проверок на известных нулях дзета-функции и рецензировали работу друг друга. Самнер в основном слал сообщения в духе «продолжай» и «верь в себя».
Claude проверил результат силами суб-агентов: они искали контрпримеры, скачали 54 статьи с arXiv, чтобы убедиться, что результат не был известен, и независимо переоткрыли доказательство. Затем Claude сам предложил оформить результат как статью и порекомендовал привлечь математика-человека. Математики Anthropic Levent Alpöge и Ralph Furman изучили работу; с сотрудником Eric Easley Claude подготовил формальное доказательство в Lean, проходящее валидатор comparator. Работу также быстро проверили эксперты Brian Conrey и Dan Goldston.
В Anthropic не ждут, что этот подход позволит доказать саму гипотезу Римана. Но считают результат свежим примером того, как быстро растут математические способности AI: даже неудачная попытка решить задачу дала неожиданный побочный прогресс. Сам Claude сначала сомневался в собственной находке — возможно, из-за того, что в обучении усвоил, насколько сложны открытые проблемы. Возможно, Claude, как и многие, недооценивает скорость прогресса AI.