Решётка всех подмножеств натуральных чисел (P(N)) с отношением включения — это целый мир. В ней есть пустое множество внизу, само (N) наверху, атомы-одиночки и коатомы-дополнения к ним. Конечные множества жмутся к низу, коконечные — к верху, а в середине лежат бесконечные множества с бесконечным дополнением. Решётка дистрибутивная, более того — булева алгебра.
Цепочка конечных начальных отрезков (\varnothing \subset {0} \subset {0,1} \subset \cdots) тянется от самого низа до (N), хотя каждая ступенька конечна: кроме самой верхней точки (N), над всей цепочкой нет другой верхней границы. Дополнения к этим отрезкам свисают сверху вниз, как канат, и не имеют нижней границы, кроме пустого множества. Целые числа тоже вкладываются: например, от множества нечётных чисел можно подниматься, добавляя по одному чётному, или спускаться, убирая по одному нечётному.
Казалось бы, плотный порядок вложить невозможно из-за дискретности: у каждого множества есть соседи, получаемые добавлением или удалением одного элемента. Тем не менее (P(N)) универсальна для всех счётных порядков. Доказательство простое: для каждого элемента (p) берём множество его предшественников — down set. Тогда (p \preccurlyeq q) равносильно тому, что down set от (p) лежит внутри down set от (q). После перенумерации элементов это превращается в подмножества (N). Значит, внутри (P(N)) есть копия рациональной прямой (\Q).
Больше того, в (P(N)) есть копия вещественной прямой (\R). Сначала вкладываем (\Q). Для вещественного числа (r) берём объединение всех (A_q) по рациональным (q \le r). Между разными (r) возникают строгие включения, так что получается несчётная цепь, изоморфная (\R). Это удивительно, ведь каждое подмножество (N) счётно, но цепь из несчётного числа таких множеств всё равно существует.
Есть и несчётная антицепь. Разметим конечные двоичные последовательности натуральными числами. Каждому бесконечному двоичному пути сопоставим набор меток вдоль пути. Разные пути рано или поздно расходятся, поэтому их множества пересекаются только по конечному набору и никакое не лежит в другом. Таких путей континуум.
Наконец, решётка однородна. Над любым коконечным множеством (A) верхняя часть изоморфна всей (P(N)): достаточно вычесть (A). Под любым бесконечным множеством (B) нижняя часть тоже изоморфна (P(N)) — это просто все подмножества (B), а (B) равномощно (N). И любые два бесконечных коконечных множества можно перевести друг в друга автоморфизмом решётки: берём биекцию (N), которая одно переводит в другое, и она индуцирует нужный автоморфизм. Поэтому отдельные бесконечные коконечные множества устроены одинаково; вся структура — в решётке как целом. Это отрывок из готовящейся книги Topics in Logic.