Алекс Коэн доказал фрактальный принцип неопределённости в старших размерностях. Сначала он застрял: привычные инструменты из теории Фурье не работали. Тогда он вернулся к доказательству Дятлова и Бургейна для одномерного случая. Они использовали необычный приём: выделяли из фракталоподобной функции один пик за раз и показывали, что преобразование Фурье этого пика расплывается. Сложив такие преобразования для всех пиков, они получали, что полное преобразование Фурье не может достаточно часто обращаться в ноль — иначе это была бы фрактальная дырявая структура. Чтобы выделить пик, нужна специальная «затухающая функция», которая умножается на исходную и вырезает только один пик, обнуляя остальное. Построить её сложно.
Коэн рассказал о плане Дятлову. Тот поделился записями Бургейна, который умер в конце 2018 года и тоже бился над этой задачей. В записях была подсказка: нужно уйти в комплексный анализ — область, где работают с функциями мнимых чисел, включая квадратный корень из −1. Это позволило построить более гибкий объект, а из него уже косвенно получить нужную затухающую функцию. Шлаг, у которого Коэн учился в бакалавриате, говорит, что конструкция получилась блестящей и в двух измерениях никто не знал, как это сделать.
В мае 2023 года Коэн выложил доказательство онлайн. Позже он обнаружил, что подсказка Бургейна не была секретом: метод опирается на известную теорему Бёрлинга—Маллявена из 1960-х. Все в этой области знали эту стратегию. Коэн признался: если бы он знал, что это не инсайдерская информация, он, возможно, бросил бы работу слишком рано. Уверенность ему дало незнание того, что другие уже пробовали этот путь.
После публикации результата другие математики начали использовать его для доказательств о поведении волн в хаотических ситуациях. В природе хаос есть в турбулентной воде и погоде, но такие системы слишком сложны. Поэтому математики изучают гиперболическое пространство, где хаос встроен в геометрию: параллельные линии расходятся, и небольшие начальные отклонения со временем становятся огромными. Это и есть признак хаоса.