Раф Левьен десятилетиями искал семейство кривых, которое было бы удобнее кубических Bézier для интерактивного дизайна. В этом поиске он проникся уважением к Bézier: они универсальны. Скажем, Euler spiral хорошо передаёт плавные изгибы, но не тянет зоны с большой кривизной, а Bézier тянут. Полиномиальные спирали/Spiro, тема его PhD, нужного синтеза не дают. Поэтому он предлагает hyperbezier — семейство из уравнения Чезаро, где кривизна задаётся как функция длины дуги: κ(s) = (as+b)/(cs^2+ds+1)^1.5. При малых углах hyperbezier почти совпадает с кубическим Bézier, но при сильных изгибах ведёт себя иначе: кривизна меняется плавнее и чаще монотонна.
Hyperbezier хорошо приближает кубические Bézier только при малых отклонениях на концах. Автор сделал черновой маппинг контрольных точек Bézier в параметры hyperbezier: длины «рычагов» задают знаменатель, а числитель подбирается так, чтобы касательные на концах совпали. Это не финальная версия, но для интерактивного редактора точная карта не обязательна — точки всегда можно подправить.
В семейство точно попадают Euler spiral (при c=d=0) и дуга окружности (если ещё и a=0). Кубические Bézier окружность лишь приближают. В параметрическом пространстве есть и другие лог-эстетические кривые: с показателями -3, -2, -1.5 и -0.5, включая эвольвенту окружности и эволюту Euler spiral. Кубический Bézier до острого угла суперэллипса не доезжает: раньше появляются лишние точки перегиба. А hyperbezier доезжает и визуально похож на squircle, хотя для умеренных показателей вроде 5 лучший Bézier может быть чуть точнее. Гиперболу hyperbezier приближает естественно и очень точно, с асимптотическим убыванием кривизны ~s^-3; Bézier так не умеют. Эластику — идеализированную гибкую полосу — тоже приближает достаточно хорошо, в отличие от Spiro.
Математика приятная: уравнение Чезаро легко интегрируется в уравнение Уивелла, второй интеграл даёт формулы, близкие к тригонометрическим. Производная — квадратичная дробь, так что экстремумы кривизны ищутся решением квадратного уравнения. Точка перегиба максимум одна, поэтому точно повторить все кубические Bézier (с двумя перегибами) нельзя, но такие в дизайне редки. Автор пробовал другие показатели степени: 1 не вытягивает резкие кривые численно стабильно, 2 даёт грязные интегралы и хуже совпадает с Bézier. Показатель 1.5 похож на стандартную формулу кривизны параметрической кривой. Дальше нужно подключить hyperbezier к сплайну. Ранний черновик Колина Рофлса, «hyperbezier pen tool», не умел острые суперэллипсы и не был замкнут относительно подразбиения. Зато идея сплайнов с G2-непрерывностью по построению выглядит стоящей. Также автор планирует подгонку кривых, особенно по данным с пера и тачскрина.