Алгебраическая геометрия конца XIX века была интересной, но раздробленной. Дэвид Мамфорд позже писал, что каждый исследователь использовал свои определения и терминологию — основания предмета описывались на полдюжине разных математических языков. Потом пришёл Гротендик и перевернул всё вверх дном, завалив математиков новыми терминами и впечатляющими результатами.
Гротендик известен конструкциями, которые помогли доказать давние гипотезы и сами стали объектами изучения. Его работа поместила алгебраическую геометрию в центр сети других областей — топологии, теории чисел, теории представлений и логики. Брайан Конрад из Стэнфорда заметил: Гротендик никогда напрямую не работал в теории чисел, но его идеи полностью преобразовали то, как теорией чисел занимаются.
Первый крупный результат — обобщение теоремы Римана-Роха (1957). Эта столетняя теорема описывает, как форма поверхности ограничивает функции, которые на ней можно определить. Лейла Шнепс из Французского национального центра научных исследований написала, что доказательство Гротендика мгновенно сделало его звездой математики. Конрад добавил: техники открыли целый новый набор операций и новый взгляд на то, почему теорема верна.
А потом Гротендик двинулся дальше. На Международном конгрессе математиков в 1958 году он объявил, что намерен перестроить всю алгебраическую геометрию с помощью того, что назвал схемой.
Десятью годами ранее Андре Вейль выдвинул гипотезы о связи решений полиномиальных уравнений в двух разных математических мирах — конечных полях и комплексных числах. Четыре гипотезы Вейля, по словам Конрада, звучали как сообщение между параллельными вселенными. Они стали фундаментальными столпами алгебраической геометрии и связали её с другими областями, включая теорию чисел.